Question

已知函數f（x）=x²（x-a），其中a∈R．g（x）=f（x）+f'（x）．
（I）當函數f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線斜率為2時，求此直線在y軸上的截距；
（II）求證：g（x）既有極大值又有極小值；
（III）若g（x）取極大值和極小值對應的x值分別在區間（-2，-1）和（3，4）內，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出f（x）的導函數，求出f'（1）=3-2a，令其為2求出a的值，寫出切線的方程，令方程中的x=0得到直線在y軸上的截距．
（II）求出g′（x）=3x²-2ax+6x-2a，得到其判別式大于0恒成立，即證得g（x）既有極大值又有極小值
（III）根據題意得到g′（x）=3x²-2ax+6x-2a的根的分布情況，結合二次函數圖象列出不等式，求出a的范圍．
解答：解：（I）f（x）=x²（x-a）=x³-ax²
f'（x）=3x²-2ax，
所以所以3-2a=2得
所以f（1）=
所以切線的方程為4x-2y-3=0
令x=0得
所以此直線在y軸上的截距為．
（II）因為g（x））=x³-ax²+3x²-2ax
所以g′（x）=3x²-2ax+6x-2a
△=4a²+36＞0
所以g′（x）=3x²-2ax+6x-2a有兩個不等根，
所以g（x）既有極大值又有極小值；
（III）因為g（x）取極大值和極小值對應的x值分別在區間（-2，-1）和（3，4）內，
所以即
解之得
點評：解決函數的性質問題，常借助導數，利用導數求曲線的切線時，一定注意函數在切點處的導數值為曲線的切線的斜率．