Question

已知曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數方程為

x= 2 2 t y= 2 t+1

，（為參數），求直線與曲線C 相交所得的弦長．

Answer 1

分析：先將曲線的極坐標方程和直線的參數方程化為普通方程，然后利用弦心距、弦長的一半及圓的半徑組成一個直角三角形，利用勾股定理即可求得．

解答：解：∵ρ=4sinθ，∴ρ²=4ρsinθ，∴x²+y²=4y，即x²+（y-2）²=4，
∴圓心為（0，2），半徑r=2．
∵直線的參數方程為

x= 2 2 t y= 2 t+1

，（為參數），消去參數t，化為普通方程y=2x+1．
由點到直線的距離公式求得圓心（0，2）到直線y=2x+1的距離為

|0-2+1|

22+12

=

5

5

．
∴直線與曲線C 相交所得的弦長=2

22-( 5 5 )2

=

2 95

5

．

點評：本題考查了把極坐標方程、參數方程化為普通方程，并求直線與圓相交所得弦長，充分利用弦心距、弦長的一半及圓的半徑組成一個直角三角形是解題的關鍵．另外也可將直線方程與圓的方程聯立消去一個未知數得到關于另一個未知數的方程，然后根據根與系數的關系利用弦長公式即可求得．