Question

若函數f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2，其中a＞0且a≠1；
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若x∈[2，4]，求函數f （log₂x）的最小值及相應x的值．

Answer 1

分析：（1）由f（log₂a）=b可求出a，再由log₂f（a）=2即可求得b，從而求出解析式；
（2）表示出f （log₂x），配方后利用函數單調性可求最小值及x值．

解答：解：（1）由f（log₂a）=b，得(log2a)2-log₂a+b=b，即(log2a)2-log₂a=0，
解得，log₂a=1或log₂a=0（舍），所以a=2．
由log₂f（a）=2，得f（a）=4，即f（2）=4，
所以2²-2+b=4，解得b=2．
所以函數f（x）=x²-x+2．
（2）f（log₂x）=(log2x)2-log2x+2=(log2x-

1

2

)2+

7

4

，
∵x∈[2，4]，∴log₂x∈[1，2]，
∴當log₂x=1，即x=2時，f（log₂x）的最小值為2．

點評：本題考查復合函數的單調性及二次函數的性質，屬中檔題．