Question

17．定義：函數y=[x]為“下取整函數”，其中[x]表示不大于x的最大整數；函數y=＜x＞為“上取整函數”，其中＜x＞表示不小于x的最小整數；例如根據定義可得：[1.3]=1，[-1.3]=-2，＜-2.3＞=-2，＜2.3＞=3
（1）函數f（x）=＜x•[x]＞，x∈[-2，2]；求$f（{-\frac{3}{2}}）$和$f（{\frac{3}{2}}）$；
（2）判斷（1）中函數f（x）的奇偶性；
（3）試用分段函數的形式表示函數：y=[x]+＜x＞，（-1≤x≤1）．

Answer 1

分析 （1）根據定義分別進行計算即可，
（2）根據函數奇偶性的定義進行判斷即可，
（3）利用定義結合分段函數的定義進行分段求解即可．

解答 解：（1）函數f（x）=＜x•[x]＞，x∈[-2，2]；
∵[-$\frac{3}{2}$]=-2，∵-$\frac{3}{2}$•[-$\frac{3}{2}$]=-$\frac{3}{2}$×（-2）=3，
則＜-$\frac{3}{2}$•[-$\frac{3}{2}$]＞=＜3＞=3，
則$f（{-\frac{3}{2}}）$=＜-$\frac{3}{2}$•[-$\frac{3}{2}$]＞=3，
∵[$\frac{3}{2}$]=1，∵$\frac{3}{2}$•[$\frac{3}{2}$]=$\frac{3}{2}$×1=$\frac{3}{2}$
則＜$\frac{3}{2}$•[$\frac{3}{2}$]＞=＜$\frac{3}{2}$＞=2，
則$f（{\frac{3}{2}}）$=＜$\frac{3}{2}$•[$\frac{3}{2}$]＞=＜$\frac{3}{2}$＞=2；
（2）∵$f（{-\frac{3}{2}}）$≠$f（{\frac{3}{2}}）$且$f（{-\frac{3}{2}}）$≠-$f（{\frac{3}{2}}）$，則（1）中函數f（x）為非奇非偶函數；
（3）當x=-1時，[-1]=-1，＜-1＞=-1，此時y=[x]+＜x＞=-1-1=-2，
當-1＜x＜0時，[x]=-1，＜x＞=0，此時y=[x]+＜x＞=-1+0=-1，
當x=0時，[0]=0，＜0＞=0，此時y=[x]+＜x＞=0，
當0＜x＜1時，[x]=0，＜x＞=1，此時y=[x]+＜x＞=0+1=1，
當x=1時，[1]=1，＜1＞=1，此時y=[x]+＜x＞=1+1=2，
則y=[x]+＜x＞=$\left\{\begin{array}{l}{-2，}&{x=-1}\\{-1，}&{-1＜x＜0}\\{0，}&{x=0}\\{1，}&{0＜x＜1}\\{2，}&{x=1}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查分段函數的應用，根據新定義分別進行計算是解決本題的關鍵．考查學生的運算和推理能力．