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科目：高中數學 來源： 題型：

定義：設函數y=f（x）在（a，b）內可導，f'（x）為f（x）的導數，f''（x）為f'（x）的導數即f（x）的二階導數，若函數y=f（x）在（a，b）內的二階導數恒大于等于0，則稱函數y=f（x）是（a，b）內的下凸函數（有時亦稱為凹函數）．已知函數f（x）=xlnx
（1）證明函數f（x）=xlnx是定義域內的下凸函數，并在所給直角坐標系中畫出函數f（x）=xlnx的圖象；
（2）對?x₁，x₂∈R⁺，根據所畫下凸函數f（x）=xlnx圖象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]與x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小關系；
（3）當n為正整數時，定義函數N （n）表示n的最大奇因數．如N （3）=3，N （10）=5，…．記S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若

2n

i=1

xi=1，證明：

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列命題：
①若m∈（0，1]，則m+

3

m

≥2

3

；
②

lim

n→∞

(-2)n-3n

3n+2n

=-1；
③若無窮數列an=

1

n(n+2)

，其各項和S=

3

4

；
④log32＞ln2＞

1

2

；
⑤設f(x)=

2x+1

x-1

，(x≠1)，f'（x）為其導函數，若f'（a）=f'（b），（a≠b），則f（a）+f（b）=4．
其中正確命題有

②③⑤

．（請填上你認為正確的所有命題的序號，多填少填均不得分）

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科目：高中數學 來源：江西省高安中學2012屆高三第三次模擬考試數學文科試題 題型：044

已知數列{a_n}滿足：a₁＋＋＋…＋＝n²＋2n(其中常數λ＞0，n∈N^*)．

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)當λ＝4時，是否存在互不相同的正整數r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數列？若存在，給出r，s，t滿足的條件；若不存在，說明理由；

(3)設S_n為數列{a_n}的前n項和．若對任意n∈N^*，都有(1－λ)S_n＋λa_n≥2λⁿ恒成立，求實數λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本小題滿分13分）已知函數f (x)=2n在［0,+上最小值是a（n∈N*）.

(1)求數列{a}的通項公式；(2)已知數列{b}中，對任意n∈N*都有ba =1成立，設S為數列{b}的前n項和，證明：2S<1;(3)在點列A(2n,a)中是否存在兩點A,A(i,j∈N*)，使直線AA的斜率為1？若存在，求出所有的數對（i,j）；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源：2012年廣東省實驗中學考前熱身訓練數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

定義：設函數y=f（x）在（a，b）內可導，f'（x）為f（x）的導數，f''（x）為f'（x）的導數即f（x）的二階導數，若函數y=f（x）在（a，b）內的二階導數恒大于等于0，則稱函數y=f（x）是（a，b）內的下凸函數（有時亦稱為凹函數）．已知函數f（x）=xlnx
（1）證明函數f（x）=xlnx是定義域內的下凸函數，并在所給直角坐標系中畫出函數f（x）=xlnx的圖象；
（2）對?x₁，x₂∈R⁺，根據所畫下凸函數f（x）=xlnx圖象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]與x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小關系；
（3）當n為正整數時，定義函數N （n）表示n的最大奇因數．如N （3）=3，N （10）=5，…．記S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若

，證明：

（i，n∈N^*）．

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