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已知橢圓E:(a,b>0)與雙曲線G:x2-y2=4,若橢圓E的頂點恰為雙曲線G的焦點,橢圓E的焦點恰為雙曲線G的頂點.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)是否存在一個以原點為圓心的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B,且?若存在請求出該圓的方程,若不存在請說明理由.
【答案】分析:(1)利用橢圓、雙曲線的標準方程與性質即可得出;
(2)假設存在一個以原點O為圓心的圓x2+y2=r2滿足條件,利用直線與橢圓相交得到根與系數的關系,再利用直線與圓相切的性質及垂直與數量積的關系即可得出.
解答:解:(1)由雙曲線G:x2-y2=4,得焦點,頂點(±2,0).
∵橢圓E的頂點恰為雙曲線G的焦點,∴=8,c2=22=4,∴b2=8-4=4.
∴橢圓E的方程為
(2)假設存在一個以原點O為圓心的圓x2+y2=r2,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B,且
當切線l的斜率存在時,設l的方程為y=kx+t,與橢圓的兩個交點A(x1,y1),B(x2,y2).
聯立,消去y得到關于x的方程(1+2k2)x2+4ktx+2t2-8=0,
必須滿足△=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-8)>0,即8k2+4>t2(*).
∴x1+x2=.(**)
∵直線l與圓x2+y2=r2,∴,化為t2=r2(1+k2).①
,∴x1x2+y1y2=0.
又y1=kx1+t,y2=kx2+t.
代入上式得
把(**)代入上式得
化為3t2=8(k2+1),②滿足(*)式.
由①②可得
因此此時存在滿足條件的圓為
當切線l的斜率不存在時,也滿足上述方程.
綜上可知:存在一個以原點O為圓心的圓x2+y2=,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B,且
點評:熟練掌握橢圓、雙曲線的標準方程與性質、直線與橢圓相交得到根與系數的關系、直線與圓相切的性質、垂直與數量積的關系是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源:2010-2011學年河南省洛陽市高三上學期期末考試理科數學 題型:解答題

(本小題滿分12分)

    已知橢圓E:(a>b>0)的離心率e=,左、右焦點分別為F1、F2,點P(2,),點F2在線段PF1的中垂線上

   (1)求橢圓E的方程;

   (2)設l1l2是過點G(,0)且互相垂直的兩條直線,l1交E于A, B兩點,l2交E于C,D兩點,求l1的斜率k的取值范圍;

   (3)在(2)的條件下,設AB,CD的中點分別為M,N,試問直線MN是否恒過定點?

若經過,求出該定點坐標;若不經過,請說明理由。

 

 

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

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(Ⅰ)若點A是橢圓E的一個頂點,求橢圓E的方程;
(Ⅱ)若線段AB上存在點P滿足|PF1+PF2|=2a,求a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知橢圓E:數學公式(a>b>0)的右焦點為F(c,0),離心率為數學公式,A(-a,0),B(0,b),且△ABF的面積為數學公式,設斜率為k的直線過點F,且與橢圓E相交于M、N兩點.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)若 數學公式數學公式數學公式數學公式,求k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:江西省同步題 題型:解答題

已知橢圓E:(a>b>0)的右焦點為F(c,0),離心率為,A(﹣a,0),
B(0,b),且△ABF的面積為,設斜率為k的直線過點F,且與橢圓E相交于M、N兩點.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)若 ·,求k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:2011年福建省漳州市漳浦縣道周中學高考數學模擬試卷(解析版) 題型:解答題

已知橢圓E:(a>b>0)過點P(3,1),其左、右焦點分別為F1,F2,且
(1)求橢圓E的方程;
(2)若M,N是直線x=5上的兩個動點,且F1M⊥F2N,圓C是以MN為直徑的圓,其面積為S,求S的最小值以及當S取最小值時圓C的方程.

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