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如圖,三個同樣大小的正方形并排一行.
(Ⅰ)求
OA
OB
夾角的余弦值.
(Ⅱ)求∠BOD+∠COD.
分析:設正方形的邊長為1,可得
OA
OB
OC
OD
的坐標,(1)cos<
OA
OB
>=
OA
OB
|
OA
||
OB
|
代入數據計算可得;(2)同理可得cos∠BOD,cos∠COD的值,由平方關系可得sin∠BOD和sin∠COD的值,可得cos(∠BOD+∠COD)的值,結合角的范圍可得答案.
解答:解:設正方形的邊長為1,則A(1,1),B(2,1),C(3,1),D(3,0),
OA
=(1,1),
OB
=(2,1),
OC
=(3,1),
OD
=(3,0)
(1)可得cos<
OA
OB
>=
OA
OB
|
OA
||
OB
|
=
3
3
5
=
15
5

(2)同理可得cos∠BOD=
OD
OB
|
OD
||
OB
|
=
6
5
×3
=
2
5
5

故可得sin∠BOD=
1-(
2
5
5
)2
=
5
5

cos∠COD=
OD
OC
|
OD
||
OC
|
=
9
10
×3
=
3
10
10
,sin∠COD=
10
10

故cos(∠BOD+∠COD)=
2
5
5
×
3
10
10
-
5
5
×
10
10
=
2
2

由角的范圍可知∠BOD+∠COD=
π
4
點評:本題考查數量積表示向量的夾角,涉及和差角三角函數,屬中檔題.
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