Question

定義已知函數f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值為t，若t≤m恒成立，則稱函數f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性質．
（1）判斷函數f（x）=x²-2x+2在[1，2]上是否具有“DK”性質？說明理由；
（2）若f（x）=x²-ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性質，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意先對于函數f（x）=x²-2x+2在定義域[1，2]上求其最小值，然后利用定義即可判斷；
（2）有函數f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性質的定義，針對a的范圍進行分類討論即可．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-2x+2，x∈[1，2]∴f（x）_min=1≤1
∴函數f（x）在[1，2]上具有“DK”性質；
（2）f（x）=x²-ax+2x∈[a，a+1]其對稱軸為x=

a

2

，
①當

a

2

≤a即a≥0時，f（x）_min=f（a）=a²-a²+2=2，
若函數f（x）具有“DK”性質，則有2≤a總成立，即a≥2，
②當a＜

a

2

＜a+1時，即-2＜a＜0時，f(x)min=f(

a

2

)=-

a2

4

+2，
若函數f（x）具有“DK”性質，則有-

a2

4

+2≤a總成立，解得：a∈∅，
③當

a

2

≥a+1時，即a≤-2時，f（x）_min=f（a+1）=a+3，
若函數f（x）具有“DK”性質，則有a+3≤a，解得：a∈∅．
綜上所述：若函數f（x）在[a，a+1]上具有“DK”性質，則有a≥2．

點評：此題考查了學生對于新定義的準確理解及應用，二次函數在定義域下求最值，分類討論的思想及一元二次不等式的求解．