Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=6

3

，E是PB上任意一點．
（1）求證：AC⊥DE；
（2）當△AEC面積的最小值是9時，在線段BC上是否存在點G，使EG與平面PAB所成角的正切值為2？若存在，求出BG的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接BD，設AC與BD相交于點F．根據菱形的對角線互相垂直及線面垂直的性質，可得AC⊥BD，PD⊥AC，進而由線面垂直的判定定理得到AC⊥平面PDB，最后由線面垂直的性質，得到AC⊥DE；
（2）連接ED，由（1）中AC⊥平面PDB，可得AC⊥EF，根據△AEC面積的最小值是9，可求出EF的最小值，作GH∥CE交PB于點G，則GH⊥平面PAB，∠GEH就是EG與平面PAB所成的角，結合EG與平面PAB所成角的正切值為2，可求出BG的值．

解答：證明：（1）連接BD，設AC與BD相交于點F．
因為四邊形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD．
又因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又由PD∩BD=D，PD，BD?平面PBD，
∴AC⊥平面PDB
∵E為PB上任意一點，DE?平面PBD，
所以AC⊥DE--------------（4分）
（2）連接ED，由（1）知AC⊥平面PDB
∵EF?平面PDB
∴AC⊥EF
∴S_△ACE=

1

2

•AC•EF
當△AEC面積的最小值是9時，EF取最小值3
由PB⊥EF，PB⊥AC，EF∩AC=F，EF，AC?平面AEC得
PB⊥平面AEC
又∵EC?平面AEC
∴PB⊥EC
又由EF=AF=FC=3得EC⊥AE，
又∵PB∩AE=E，PB，AE?平面PAB
∴EC⊥平面PAB
作GH∥CE交PB于點G，則GH⊥平面PAB
∴∠GEH就是EG與平面PAB所成的角
在直角三角形CEB中，BC=6，EC=3

2

，EB=3

2

，
∴∠CBE=45°，
設BG=x，則BH=HG=

2

2

x
由tan∠GEH=2得EH=

2

4

x．
由EH+HB=EB得x=4，即BG=4--------------（10分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，空間線面垂直的判定與性質，熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的相互轉化是解答的關鍵．