Question

（本題滿分13分）
設點P是圓x² +y² =4上任意一點，由點P向x軸作垂線PP₀，垂足為P_o，且．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線：y=kx+m(m≠0)與（Ⅰ）中的軌跡C交于不同的兩點A，B．
（1）若直線OA，AB，OB的斜率成等比數列，求實數m的取值范圍；
（2）若以AB為直徑的圓過曲線C與x軸正半軸的交點Q，求證：直線過定點(Q點除外)，并求出該定點的坐標．

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）（i）.（ii）直線過定點.

試題分析：（Ⅰ）設點，，則由題意知.
由，，且，
得.
所以于是
又，所以.
所以，點M的軌跡C的方程為.……………………（3分）
（Ⅱ）設， .
聯立
得.       
所以，，即.    ①
且       ………………………………（5分）
（i）依題意，，即.
.
，即.
，，解得.
將代入①，得.
所以，的取值范圍是.   ……………………（8分）
（ii）曲線與軸正半軸的交點為.
依題意，， 即.
于是.
，即，
.
化簡，得.
解得，或，且均滿足.
當時，直線的方程為，直線過定點(舍去)；
當時，直線的方程為，直線過定點.
所以，直線過定點.   ………………………………（13分）
點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題，本題利用相關點法求軌跡方程，相關點法 根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程．本題較難。