Question

已知a∈R，函數f（x）=x²（x-a）．
（1）若函數f（x）在區間(0，

2

3

)內是減函數，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f（x）在區間[1，2]上的最小值h（a）；
（3）對（2）中的h（a），若關于a的方程h(a)=m(a+

1

2

)有兩個不相等的實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數在某區間單調遞減轉化成導函數在該區間≤0恒成立，分離參數轉化成求函數最值．
（2）令導數為0，求得根，討論根與區間[1，2]的關系，判斷根左右兩邊的符號求出最小值．
（3）方程有兩不等根轉化成函數圖象有兩不同交點．

解答：（1）解：∵f（x）=x³-ax²，∴f′（x）=3x²-2ax．
∵函數f（x）在區間(0，

2

3

)內是減函數，
∴f′（x）=3x²-2ax≤0在(0，

2

3

)上恒成立．
即a≥

3x

2

在(0，

2

3

)上恒成立，
∵

3x

2

＞

3

2

×

2

3

=1，∴a≥1．
故實數a的取值范圍為[1，+∞）；

（2）解：∵f′(x)=3x(x-

2

3

a)，
令f′（x）=0得x=0或

2

3

a．
①若a≤0，則當1≤x≤2時，f′（x）＞0，
所以f（x）在區間[1，2]上是增函數，
所以h（a）=f（1）=1-a．
②若0＜a＜

3

2

，即0＜

2

3

a＜1，
則當1≤x≤2時，f′（x）＞0，
所以f（x）在區間[1，2]上是增函數，
所以h（a）=f（1）=1-a．
③若

3

2

≤a＜3，即1≤

2

3

a＜2，
則當1＜x＜

2

3

a時，f′（x）＜0；
當

2

3

a＜x＜2時，f′（x）＞0．
所以f（x）在區間[1，

2

3

a]上是減函數，
在區間[

2

3

a，2]上是增函數．
所以h(a)=f(

2

3

a)=-

4

27

a3
④若a≥3，即

2

3

a≥2，則當1＜x＜2時，
f′（x）＜0，所以f（x）在區間[1，2]上是減函數．
所以h（a）=f（2）=8-4a．
綜上所述，函數f（x）在區間[1，2]的最小值h(a)=

1-a，a＜ 3 2 - 4 27 a3， 3 2 ≤a＜3 8-4a，a≥3

；

（3）解：由題意h(a)=m(a+

1

2

)有兩個不相等的實數解，
即（2）中函數h（a）的圖象與直線y=m(a+

1

2

)有兩個
不同的交點．
而直線y=m(a+

1

2

)恒過定點(-

1

2

，0)，
由如圖知實數m的取值范圍是（-4，-1）．

點評：本題考查導數解決單調性問題；不等式恒成立問題；導數求最值問題；方程根問題；數形結合思想；轉化化歸思想．