Question

已知函數f（x）=asinx-x（a∈R），則下列命題中錯誤的是（　　）

A．若-1≤a≤1，則f（x）在R上單調遞減

B．若f（x）在R上單調遞減，則-1≤a≤1

C．若a=1，則f（x）在R上只有1個零點

D．若f（x）在R上只有1個零點，則a=1

Answer 1

分析：根據f（x）在R上單調遞減?f^′（x）＜0，求a的取值范圍，來判斷A、B的正確性；
利用sinx≤x，來判斷f（x）有一個零點的條件，判斷C是否正確；
利用函數圖象有交點的條件，判定D是否正確．

解答：解：∵f^′（x）=acosx-1，當-1≤a≤1，f^′（x）＜0?f（x）在R上單調遞減，∴A正確；
若f（x）在R上單調遞減：f^′（x）=acosx-1≤0恒成立，∴-1≤a≤1，∴B正確；
對C，∵sinx≤x當且僅當x=0取“=”，∴a=1，則f（x）在R上只有1個零點，C正確；
∵當0＜a＜1時f（x）在R上也只有1個零點0，∴D錯誤．
故選D

點評：本題借助考查命題的真假判斷及應用，考查函數的零點判定與導數的應用．