Question

已知f（x）=|log₂（x+1）|，m＜n，f（m）=f（n）．
（1）比較m+n與0的大小；
（2）比較f（

m+n

m-n

）與f（

m+n

n-m

）的大小．

Answer 1

分析：（1）由f（m）=f（n）化簡可得 mn+m+n=0，由函數的定義域知，m、n∈（-1，0]或m、n∈[0，+∞），
因為 x∈（-1，0]時，f（x）為減函數； x∈[0，+∞）時，f（x）為增函數，f（m）≠f（n），
所以有-1＜m＜0，n＞0，m•n＜0，m+n=-mn＞0．
（2）根據m、n的取值范圍，化簡f（

m+n

m-n

）與f（

m+n

n-m

）的解析式，將化簡后的解析式作差變形，判斷符號，
再根據差的符號，比較出這2個式子的大小．

解答：解：（1）∵f（m）=f（n），
∴|log₂（m+1）|=|log₂（n+1）|．
∴log₂²（m+1）=log₂²（n+1）．
∴[log₂（m+1）+log₂（n+1）][log₂（m+1）-log₂（n+1）]=0，
log₂（m+1）（n+1）•log₂

m+1

n+1

=0．
∵m＜n，∴

m+1

n+1

≠1．
∴log₂（m+1）（n+1）=0．
∴mn+m+n+1=1．∴mn+m+n=0．
由函數的定義域知 m、n∈（-1，0]或m、n∈[0，+∞）時，
由函數y=f（x）的單調性知x∈（-1，0]時，f（x）為減函數，
x∈[0，+∞）時，f（x）為增函數，f（m）≠f（n）．
∴-1＜m＜0，n＞0．∴m•n＜0．
∴m+n=-mn＞0．

（2）f（

m+n

m-n

）=|log₂

2m

m-n

|=-log₂

2m

m-n

=log₂

m-n

2m

，
f（

m+n

n-m

）=|log₂

2n

n-m

|=log₂

2n

n-m

．

m-n

2m

-

2n

n-m

=

-(m-n)2-4mn

2m(n-m)

=-

(m+n)2

2m(n-m)

＞0．
∴f（

m+n

m-n

）＞f（

m+n

n-m

）．

點評：本題考查利用函數的單調性比較2個式子的大小的方法，體現了轉化的數學思想．