Question

17．對于函數f（x）定義域內的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），有以下結論：
①f（0）=1；
②f（1）=0
③f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）
④f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
⑤f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$
⑥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$
當f（x）=2^x時，則上述結論中成立的是①③⑤（填入你認為正確的所有結論的序號）

Answer 1

分析 f（0）=2⁰=1，故①正確；f（1）=2，故②錯誤；根據分數指數冪的運算性質可知③正確，④錯誤；根據基本不等式和分數指數冪的運算性質可知⑤正確，⑥錯誤．

解答 解：對于①：f（0）=2⁰=1，故①正確；
對于②：f（1）=2，故②錯誤；
對于③：根據分數指數冪的運算性質可知，f（x₁+x₂）=2^x₁+x₂=${2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}$=f（x₁）•f（x₂），故③正確；
對于④：根據分數指數冪的運算性質可知，f（x₁•x₂）=${2}^{{x}_{1}•{x}_{2}}$=${（2}^{{x}_{1}}）^{{x}_{2}}$，$f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）={2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}$．則f（x₁•x₂）≠f（x₁）+f（x₂），故④錯誤；
對于⑤⑥：根據基本不等式和分數指數冪的運算性質可知．由于$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}$$＞\frac{2\sqrt{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}}}{2}=\sqrt{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}}$，$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）={2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=${（2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}）^{\frac{1}{2}}=\sqrt{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}}$，
所以$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）＜\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故⑤正確，⑥錯誤．
故答案為：①③⑤．

點評 本題主要考查了分數指數冪的基本運算性質，以及基本不等式的應用，屬于知識的簡單綜合應用．