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已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，且
a
與
b
之間滿足關系：|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，其中k＞0，則
a
•
b
取得最小值時，
a
與
b
夾角θ的大小為（　　）
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
π
2
分析：利用數量積的性質和向量的夾角公式、基本不等式即可得出．
解答：解：∵
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)．
∴|
a
|=
cos2α+sin2α
=1，|
b
|=
cos2β+sin2β
=1．
又|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，（k＞0）．
∴k2
a
2+
b
2+2k
a
•
b
=3(
a
2+k2
b
2-2k
a
•
b
)，
∴k2+1+2k
a
•
b
=3+3k2-6k
a
•
b
，
化為
a
•
b
=
k2+1
4k
≥
2k
4k
=
1
2
，當且僅當k=1時取等號．
此時cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
| |
b
|
=
1
2
1×1
=
1
2
，
∴＜
a
，
b
＞=
π
3
．
即
a
•
b
取得最小值時，
a
與
b
夾角θ的大小為
π
3
．
故選：C．
點評：本題考查了數量積的性質和向量的夾角公式、基本不等式，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，其中0＜α＜β＜π．
（1）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（2）若k
a
+
.
b
與
a
-k
.
b
的長度相等，求α-β的值（k為非零的常數）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•靜安區一模）（文）已知
a
=(cosα，3sinα)，
b
=(3cosβ，sinβ)，(0＜β＜α＜
π
2
)是平面上的兩個向量．
（1）試用α、β表示
a
•
b
；
（2）若
a
•
b
=
36
13
，且cosβ=
4
5
，求α的值（結果用反三角函數值表示）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(cosθ，sinθ)，
b
=(cosα，sinα)，則下列說法不正確的是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=
cosωx，sinωx
，
b
=
cosωx+
3
sinωx，
3
cosωx-sinωx
（ω＞0），函數f(x)=
a
•
b
的最小正周期為π
（1）求函數f（x）的單調遞減區間及對稱中心；
（2）求函數f（x）在區間
π
4
，
π
2
上的最大值與最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2005•朝陽區一模）已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，0＜α＜β＜π
（I）求|
a
|的值；
（II）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（III）設|k
a
+
b
|=|
a
-k
b
|，k∈R且k≠0，求β-α的值．

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同步練習冊答案
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