Question

若函數f（x）=x³-3x-a在區間[0，3]上的最大值、最小值分別為M、N，則M-N的值為（ ）
A．2
B．4
C．18
D．20

Answer 1

【答案】分析：因為要求函數的最大值和最小值，先求出函數的導函數f′（x）=3x²-3，然后令f′（x）=3x²-3=0得x=±1，又因為函數在區間[0，3]取最值，所以要討論x的兩個范圍0≤x＜1和1≤x≤3時f′（x）的正與負，因為0≤x＜1時，f′（x）＜0；1≤x≤3時，f′（x）＞0所以f（1）最小，最大值要看區間的兩個端點即f（3）和f（0），判斷其誰大誰就是最大值，則就求出了M和N，解出M-N即可．
解答：解：f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0得x=±1．
當0≤x＜1時，f′（x）＜0；當1≤x≤3時，f′（x）＞0．則f（1）最小，則N=f（1）
又f（0）=-a，f（3）=18-a，
又f（3）＞f（0），∴最大值為f（3），即M=f（3），
所以M-N=f（3）-f（1）=（18-a）-（-2-a）=20．
故答案為D．
點評：考查學生利用導數求閉區間上函數的最值的能力．