Question

已知向量

OA

=(2，2)，

OB

=(4，1)，在x軸上一點(diǎn)P，使

.

AP

•

BP

有最小值，則點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（　　）

A．（-3，0）

B．（2，0）

C．（3，0）

D．（4，0）

Answer 1

分析：設(shè)P（x，0），可得

AB

、

BP

含有x的坐標(biāo)形式，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式得

.

AP

•

BP

=x²-6x+10，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當(dāng)x=3時(shí)

.

AP

•

BP

取得最小值1，得到本題答案．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），可得

AB

=（x-2，-2），

BP

=（x-4，-1）．
因此，

.

AP

•

BP

=（x-4）（x-2）+2=x²-6x+10=（x-3）²+1．
∵二次函數(shù)y=（x-3）²+1，當(dāng)x=3時(shí)取得最小值為1
∴當(dāng)x=3時(shí)，

.

AP

•

BP

取得最小值1，此時(shí)P（3，0）．
故選：C

點(diǎn)評：本題給出向量

OA

、

OB

的坐標(biāo)，求在x軸上一點(diǎn)P，使

.

AP

•

BP

有最小值．著重考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．