Question

已知橢圓的左焦點F為圓的圓心，且橢圓上的點到點F的距離最小值為。

（I）求橢圓方程；

（II）已知經過點F的動直線與橢圓交于不同的兩點A、B，點M（），證明：為定值。

 

Answer 1

【答案】

（I）（II）當直線與軸垂直時，的方程為

，當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，由得，，，所以，為定值，且定值為

【解析】

試題分析：（1）因為圓的圓心為，半徑，所以橢圓的半焦距

又橢圓上的點到點F的距離最小值為，所以，即

所以，所求橢圓的方程為   2分

（2）①當直線與軸垂直時，的方程為，可求得

此時，  4分

②當直線與軸不垂直時，設直線的方程為

由得    6分

設，則   7分

因為

所以，為定值，且定值為   13分

考點：橢圓方程性質及直線與橢圓的位置關系

點評：本題第二問中直線與橢圓相交時需注意討論直線斜率存在與不存在兩種情況，當斜率存在時常聯立方程組，利用根與系數的關系求解化簡