Question

已知向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(sinx，cosx)，且x∈[0，

π

2

]，
（1）求

a

•

b

的取值范圍；
（2）求證|

a

+

b

|=2sin(x+

π

4

)；
（3）求函數f(x)=

a

•

b

-

2

|

a

+

b

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1））利用向量的坐標運算公式可求得

a

•

b

=sin2x，又x∈[0，

π

2

]，從而可求

a

•

b

的取值范圍；
（2）由

a

+

b

=（cos+sinx，sinx+cosx）由向量模的概念結合輔助角公式即可證得|

a

+

b

|=2sin（x+

π

4

）．
（3）將f(x)=

a

•

b

-

2

|

a

+

b

|化簡為：f（x）═2sinxcosx-2（sinx+cosx），
解法1：令t=sinx+cosx，sinx•cosx=

t2-1

2

（1≤t≤

2

），y=t²-1-2t=（t-1）²-2取值范圍可求．
解法2：f（x）=sin2x-2

2

sin（x+

π

4

）=2sin2(x+

π

4

)-2

2

sin(x+

π

4

)-1，求得sin（x+

π

4

）的范圍即可．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=sinx•cosx+sinx•cosx=2sinx•cosx=sin2x  （2′）
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x∈[0，π]
∴

a

•

b

∈[0，1]（4′）
（2）證明：∵

a

+

b

=（cos+sinx，sinx+cosx）
∴|

a

+

b

|=

2(cosx+sinx)2

（6'）
=

2[ 2 sin(x+ π 4 )]2

=2|sin(x+

π

4

)|
∵x∈[0，

π

2

]，
∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（x+

π

4

）＞0，
∴2|sin(x+

π

4

)|=2sin（x+

π

4

），
∴|

a

+

b

|=2sin（x+

π

4

）．（8'）
（3）∵x∈[0，

π

2

]，
∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]
∴f（x）=

a

•

b

-

2

|

a

+

b

|
=sin2x-2

2

sin(x+

π

4

)
=2sinxcosx-2（sinx+cosx）（9'）
解法1：令t=sinx+cosx
∴sinx•cosx=

t2-1

2

   (1≤t≤

2

）
∴y=t²-1-2t（10'）
=（t-1）²-2
∴y∈[-2，1-2

2

]（12'）
解法2：f（x）=sin2x-2

2

sin(x+

π

4

)（9'）
=-cos[2(x+

π

4

)]-2

2

sin(x+

π

4

)
=2sin2(x+

π

4

)-2

2

sin(x+

π

4

)-1（10'）
∵

2

2

≤sin(x+

π

4

)≤1
∴f（x）∈[-2，1-2

2

]（12'）

點評：本題考查正弦函數的定義域和值域，著重考查了平面向量數量積的運算，三角函數的化簡求值與二次函數在閉區間上的最值，綜合性強，難度較大，屬于難題．