Question

對n∈N^*，不等式所表示的平面區域為D_n，把D_n內的整點(橫坐標與縱坐標均為整數的點)按其到原點的距離從近到遠排成一列點：(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₃)，…，(x_n，y_n)．

(Ⅰ)求x_n、y_n;

(Ⅱ)若a_n=3ⁿ+λ·(-x_n)^n-1·(λ為非零常數)，問是否存在整數λ，使得對任意n∈N^*，都有a_n+1＞a_n.

Answer 1

解：(Ⅰ)-nx+2n＞0x＜2，

又x＞0且x∈N^*，∴x=1

故D_n內的整點都落在直線x=1上且y≤n，故D_n內的整點按其到原點的距離從近到遠排成的點列為：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(1，n)，∴x_n=1，y_n=n(5分)

(Ⅱ)a_n=3ⁿ+λ·(-x_n)^n-1·

=3ⁿ+λ·(-1)^n-1·2ⁿ，

∴a_n+1-a_n=3ⁿ⁺¹+λ·(-1)ⁿ·2ⁿ⁺¹-[3ⁿ+λ·(-1)^n-1·2ⁿ]

=2·3ⁿ-3λ·(-1)^n-1·2ⁿ＞0

∴(-1)^n-1·λ＜()^n-1  (*) 

當n=2k-1(k=1，2，3，…)時，(*)式即為λ＜()^2k-2對

k=1，2，3，…都成立，∴λ＜1 

當n=2k(k=1，2，3，…)時，(*)式即為λ＞-()^2k-1對k=1，

2，3，…都成立，∴λ＞

∴＜λ＜1，又λ≠0且λ∈Z，

∴存在λ=-1，使得對任意n∈N^*，都有a_n+1＞a_n.