Question

（2011•黑龍江一模）已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三角形ABC為正三角形，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB=2，AA₁=4，E為AA₁的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)．
（1）求證：直線AF∥平面BEC₁；
（2）求平面BEC₁和平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：方法一（1）取BC₁的中點(diǎn)為R，連接RE，RF，通過證明四邊形AFRE為平行四邊形 得出AF∥RE，再證出直線AF∥平面BEC₁；
（2）延長(zhǎng)C₁E交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接QB，則∠C₁BC為平面BEC₁和平面ABC所成的銳二面角的平面角．在△BCC₁中求解即可．
方法二：
（1）以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A為x軸，F(xiàn)B為y軸，F(xiàn)S為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面BEC₁的法向量為

m

，可以利用

AF

⊥

m

來證明．
（2）利用BEC₁的一個(gè)法向量與平面ABC一個(gè)法向量夾角求出二面角A-EC-F的大小．

解答：解：法一（1）取BC₁的中點(diǎn)為R，連接RE，RF，
則RF∥CC₁，AE∥CC₁，且AE=RF，…（3分）
則四邊形AFRE為平行四邊形，
則AF∥RE，AF?平面REC₁．RE?平面REC₁．∴AF∥平面REC₁．…（6分）
（2）延長(zhǎng)C₁E交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接QB，
則QB即為平面BEC₁與平面ABC的交線，
由于EA∥C1C，E為AA₁的中點(diǎn)，∴A為QC中點(diǎn)，∴QA=AC=AB，
∴∠ABCQ=∠AQB=

1

2

∠CAB=30°，
∴∠CBQ=∠CBA+∠ABQ=60°+30°=90°，
∴BC⊥BQ，又QB⊥B1B，∴QB⊥面C₁CBB₁，
∴C₁B⊥BQ，
則∠C₁BC為平面BEC₁和平面ABC所成的銳二面角的平面角．…（8分）
在△BCC₁中，cos∠C1BC=

BC

BC1

=

BC

BC2+CC12

= 

2

2 5

=

5

5

平面BEC₁和平面ABC所成的銳二面角的余弦值為

5

5

．
…（12分）
法二 取B₁C₁中點(diǎn)為S，連接FS，
以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A為x軸，F(xiàn)B為y軸，F(xiàn)S為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，F(xiàn)(0，0，0)，C(0，-1，0)，A1(

3

，0，4)，B1(0，1，4)，C(0，-1，4)，E(

3

，0，2)，…（2分）
（1）則

AF

=(-

3

，0，0)，

BE

=(

3

，-1，2)，

BC1

=(0，-2，4)，
設(shè)平面BEC₁的法向量為

m

=(x1，y1，z1)，
則

m

•

BE

=0，

m

•

BC1

=0，即

3 x1-y1+2z1=0 -2y1+4z1=0

…（4分）
令y₁=2，則x₁=0，z₁=1，即

m

=(0，2，1)，所以

AF

•

m

=0，
故直線AF∥平面BEC₁．…（6分）
（2）設(shè)平面ABC的法向量

n

=(0，0，1)，
則cosθ=

m • n

| m || n |

=

5

5

．
由于平面BEC₁和平面ABC所成二面角是銳二面角
所以其余弦值是

5

5

．
…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度．