Question

在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點M的極坐標為(4

2

，

π

4

)，曲線C的參數方程為

x=1+ 2 cosα y= 2 sinα

（α為參數）．
（I）求直線OM的直角坐標方程；
（Ⅱ）求點M到曲線C上的點的距離的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把點M的坐標化為直角坐標，進而即可求出直線OM的方程；
（Ⅱ）把曲線C的參數方程化為化為普通方程，再利用|MA|-r即可求出最小值．

解答：解：（Ⅰ）由點M的極坐標為(4

2

 ，  

π

4

)，得點M的直角坐標x=4

2

cos

π

4

=4，y=4

2

sin

π

4

=4，即M（4，4）．
∴直線OM的直角坐標方程為y=x．
（Ⅱ）由曲線C的參數方程

x=1+ 2 cosα ，   y= 2 sinα

（α為參數），消去參數α得普通方程為：（x-1）²+y²=2．
∴圓心為A（1，0），半徑r=

2

，
由于點M在曲線C外，
故點M到曲線C上的點的距離的最小值為|MA|-r=

32+42

-

2

=5-

2

．

點評：充分利用極坐標與普通方程的互化公式及點M到曲線（圓）C上的點的距離的最小值為|MA|-r是解題的關鍵．