Question

（2010•瀘州二模）設定義在R上的函數f（x），f（0）=2008，且對任意x∈R，滿足f（x+2）-f（x）≤3•2^x，f（x+6）-f（x）≥63•2^x，則f（2008）=（　　）

A．2²⁰⁰⁵+2004

B．2²⁰⁰⁷+2006

C．2²⁰⁰⁹+2008

D．2²⁰⁰⁸+2007

Answer 1

分析：由f（x+2）-f（x）≤3•2^x①，f（x+6）-f（x）≥63•2^x②，②-①可推得f（x+6）-f（x+2）≥15•2^x+2，可化為f（x+4）-f（x）≥15•2^x③，由f（x+2）-f（x）≤3•2^x，可得f（x+4）-f（x+2）≤3•2^x+2，兩式相加可得f（x+4）-f（x）≤3•2^x+3•2^x+2=15•2^x④，由③④可推得恒等式，由此可求得答案．

解答：解：由f（x+2）-f（x）≤3•2^x①，f（x+6）-f（x）≥63•2^x②，
②-①，得f（x+6）-f（x+2）≥60•2^x=15•2^x+2，即f（x+4）-f（x）≥15•2^x③，
由f（x+2）-f（x）≤3•2^x，得f（x+4）-f（x+2）≤3•2^x+2，
兩式相加，得f（x+4）-f（x）≤3•2^x+3•2^x+2=15•2^x④，
由①④，得f（x+4）-f（x）=15•2^x，
∴f（2008）=f（2004）+15•2²⁰⁰⁴
=f（2000）+15•2²⁰⁰⁴+15•2²⁰⁰⁰
=…
=f（0）+15•2²⁰⁰⁴+15•2²⁰⁰⁰+…+15•2⁴+15•2⁰
=2008+15•

1-16502

1-16

=2007+2²⁰⁰⁸，
故選D．

點評：本題考查函數單調性的性質及其應用，考查函數的求值，解決該題的關鍵是由不等式變出恒等式，體現轉化思想．