Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD是正三角形，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面PAD⊥平面ABCD，F為PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直線PB與平面ABF所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明AF⊥平面PCD，利用線面垂直的判定定理，只需證明AF⊥PD，CD⊥AF即可；
（Ⅱ）證明∠PBF為直線PB與平面ABF所成的角，求出PF，BF的長，即可得出結論．

解答：（Ⅰ）證明：如圖右，因為△PAD是正三角形，F為PD中點，所以AF⊥PD，
因為底面ABCD為正方形，所以CD⊥AD
又因為平面PAD⊥平面ABCD，且AD=面PAD∩面ABCD；
所以CD⊥平面PAD，而AF?平面PAD，
所以CD⊥AF，且CD∩PD=D，
所以AF⊥平面PCD．…（6分）；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）證明可知，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD
因為PD?平面PAD，所以AB⊥PD，
又由（Ⅰ）知AF⊥PD，且AF∩AB=A，所以PD⊥平面ABF，即∠PBF為直線PB與平面ABF所成的角…（9分）
∵AB=2，AF=

3

，PF=1，∴Rt△BAF中，BF=

AF2+AB2

=

7

，
所以tan∠PBF=

PF

BF

=

7

7

，即求．…（12分）
〖注〗若用等體積法，參照標準同樣分步計分．

點評：本題考查線面垂直，考查線面角，解題的關鍵是正確運用線面垂直的判定，作出線面角，屬于中檔題．