Question

已知公比為的無窮等比數列各項的和為9，無窮等比數列各項的和為。

（1）求數列的首項和公比；

（2）對給定的，設是首項為，公差為的等差數列，求的前2007項之和；

（3）（理）設為數列的第項，：

①求的表達式，并求出取最大值時的值。

②求正整數，使得存在且不等于零。

（文）設為數列的第項，：求的表達式，并求正整數，使得存在且不等于零。

Answer 1

（1）（2）（3）見解析

解析:

(1)依題意可知,。

(2)由(1)知,,所以數列的的首項為,公差,

,即數列的前項之和為。

(3) （理）===；

①；

由，解得，

計算可得，

因為當時，，所以當時取最大值。

②=，

當時，=－，當時，=0，所以。

（文）===；

；

=，

當時，=－，當時，=0，所以。