Question

已知橢圓C的離心率e=，長軸的左右端點分別為A₁（-2，0），A₂（2，0）．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設直線x=my+1與橢圓C交于P，Q兩點，直線A₁P與A₂Q交于點S，試問：當m變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（I）設橢圓C的方程為，
∵，∴，b²=1，
∴橢圓C的方程為．
（II）取m=0，得P（1，），Q（1，-），
直線A₁P的方程是，
直線A₁P的方程是，直線A₂Q的方程為是交點為．
若，由對稱性可知，
若點S在同一條直線上，由直線只能為l：x=4．
以下證明對于任意的m，直線A₁P與A₂Q的交點S均在直線l：x=4上，
事實上，由，
得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則，
記A₁P與l交于點S₀（4，y₀），
由，得，
設A₂Q與l交于點S‘₀（4，y′₀），
由，得，
∵
=
=
=，
∴y₀=y′₀，即S₀與S‘₀重合，
這說明，當m變化時，點S恒在定直線l：x=4上．
分析：（I）設橢圓C的方程為，由，知，b²=1，由此能求出橢圓C的方程．
（II）取m=0，得P（1，），Q（1，-），直線A₁P的方程是，直線A₁P的方程是，直線A₂Q的方程為是交點為．若，由對稱性可知，若點S在同一條直線上，由直線只能為l：x=4．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價變換．注意對稱性的合理運用．