Question

已知函數f（x）=-2x²+（a+3）x+1-2a，其中a∈R．
（1）若函數f（x）是偶函數，求函數f（x）在區間[-1，3]上的最小值；
（2）用函數的單調性的定義證明：當a≤1時，f（x）在區間[1，+∞）上為減函數．

Answer 1

分析：（1）由已知可知，f（-x）=f（x），代入即可求解a，進而可求函數f（x），利用二次函數的性可知最小值
（2）先設1≤x₁＜x₂，然后通過作差f（x₂）-f（x₁）判斷f（x₂）與f（x₁）的大小即可判斷

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）∵函數f（x）是偶函數，
∴f（-x）=f（x），
∴-2（-x）²+（a+3）•（-x）+1-2a=-2x²+（a+3）x+1-2a
∴-（a+3）=a+3，
∴a=-3…（2分）
∴f（x）=-2x²+7…（3分）
即函數f（x）的圖象是頂點為（0，7），對稱軸為y且開口向下的拋物線，
∴f（x）在區間[-1，0]上遞增，在區間[0，3]上遞減…（5分）
又∵f（3）=-2×3²+7=-11，f（-1）=-2×（-1）²+7=5
∴函數f（x）在區間[-1，3]上的最小值為-11．   …（7分）
（2）設1≤x₁＜x₂則f（x₂）-f（x₁）=-2x22+(a+3)x2+1-2a+2x12-(a+3)x1-1+2a
=2(x12-x22)+(a+3)(x2-x1)
=（x₁-x₂）[2（x₁+x₂）-（a+3）]（10分）
∵1≤x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，2（x₁+x₂）＞4
∵a≤1
∴a+3≤4
∴2（x₁+x₂）-（a+3）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0
即f（x₂）＜f（x₁）
∴當a≤1時，f（x）在區間[1，+∞）上為減函數（14分）

點評：本題主要考查了函數的奇偶性及函數的單調性在函數求解中的應用，解題的關鍵是熟練掌握基本知識