Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

），有如下結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

6

，0）成中心對(duì)稱(chēng)；
③函數(shù)y=f（x+t）為偶函數(shù)的一個(gè)充分不必要條件是t=

π

6

；
④把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位后，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），便得到y(tǒng)=f（x）的圖象．
其中正確的結(jié)論有

①③④

．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：根據(jù)正弦函數(shù)的周期計(jì)算公式得①正確．
根據(jù)點(diǎn)（

π

6

，0）不是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，故函數(shù)圖象不關(guān)于點(diǎn)（

π

6

，0）對(duì)稱(chēng)，故②不正確．
根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，得函數(shù)y=f（x+t）為偶函數(shù)的一個(gè)充分必要條件，得③正確．
由于函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位后，而得到y(tǒng)=sin（x+

π

6

），再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），便得到 y=sin（2x+

π

6

），故④正確．

解答：解：對(duì)于①，由周期計(jì)算公式T=

2π

W

=

2π

2

=π，得函數(shù)f（x）的最小正周期為π．正確；
對(duì)于②，因?yàn)楫?dāng)x=

π

6

時(shí)，函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）=1，故函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

6

，0）對(duì)稱(chēng)，故②不正確．
對(duì)于③函數(shù)y=f（x+t）=sin（2x+2t+

π

6

）為偶函數(shù)的一個(gè)充分必要條件是2t+

π

6

=

π

2

+kπ，k∈Z，
即t=

π

6

+kπ，k∈Z，特別地當(dāng)k=0時(shí)，t=

π

6

，
故函數(shù)y=f（x+t）為偶函數(shù)的一個(gè)充分不必要條件是t=

π

6

；正確；
對(duì)于④，由于函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位后，而得到y(tǒng)=sin（x+

π

6

），再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），便得到 y=sin（2x+

π

6

），故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，以及y=Asin（ωx+∅）圖象的變換，掌握y=Asin（ωx+∅）圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．