Question

已知橢圓的中心在坐標原點，左頂點，離心率，為右焦點，過焦點的直線交橢圓于、兩點（不同于點）．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當時，求直線PQ的方程；

（Ⅲ）判斷能否成為等邊三角形，并說明理由．

Answer 1

，或，不能

解析:

解：（Ⅰ）設橢圓方程為 (a>b>0) ，

由已知

∴                 -----------------------------------------2分

      ∴ 橢圓方程為．           -------------------------------------------------4分

（Ⅱ）解法一

橢圓右焦點．

設直線方程為（∈R）．          ----------------------------------5分

由    得．①          -----------6分

顯然，方程①的．

設，則有．     ----7分

     ．

∵，

∴ ．

解得．

∴直線PQ 方程為，即或．    ----------9分

解法二： 橢圓右焦點．

當直線的斜率不存在時，，不合題意．

設直線方程為，            --------------------------------------5分

由  得．   ①     ----6分

顯然，方程①的．

設，則．      --------7分

   

    =．

∵，

∴，解得．

∴直線的方程為，即或．  --------9分

   （Ⅲ）不可能是等邊三角形．   ---------------------------------------------------11分

     如果是等邊三角形，必有，

      ∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

     ∴，或（無解）．

     而當時，，不能構成等邊三角形．

     ∴不可能是等邊三角形．------------------------------------------------------------14分