Question

已知數列{a_n}滿足：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n²（n≥1，n∈N⁺），
（1）求a₂₀₁₁
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n為數列{b_n}的前b項和，存在正整數b，使得S_n＞λ-

1

2

，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據條件可知

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2011

=2011²與

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2010

=2010²，兩式相減可求出所求；
（2）先求出數列{a_n}的通項公式，然后根據數列{b_n}通項公式的特點，利用裂項求和法進行求和，從而可求出所求．

解答：解：（1）

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2011

=2011²

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2010

=2010²
兩式相減得

1

a2011

=2011²-2010²=4021⇒a₂₀₁₁=

1

4021

（2）

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n²

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

=（n+1）²
兩式相減得

1

an

=n²-（n-1）²=2n-1⇒an=

1

2n-1

（n≥2）
當n=1時，a₁=1也滿足上式∴an=

1

2n-1

（n≥1）
b_n=a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
S_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）
存在正整數b，使得S_n＞λ-

1

2

，即S_n的最大值大于λ-

1

2

而S_n=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

∴

1

2

＞λ-

1

2

，即λ＜1

點評：本題主要考查了遞推關系，以及數列求和，同時考查了數列與不等式的綜合應用和計算能力，屬于中檔題．