Question

設函數f(x)=x(

1

2

)x+

1

x+1

，A₀為坐標原點，A_n為函數y=f（x）圖象上橫坐標為n（n∈N^*）的點，向量an=

n

k=1

Ak-1Ak

，向量i=（1，0），設θ_n為向量a_n與向量i的夾角，則滿足

n

k=1

tanθk＜

5

3

的最大整數n是

 

．

Answer 1

分析：先確定點A_n=（n，f（n）），再確定

an

，然后明確夾角θ_n，進一步表示出tanθ_n，最后可由列舉法求出滿足要求的最大整數n．

解答：解：由題意知A_n=（n，f（n）），

an

=

A0An

，
則θ_n為直線A₀A_n的傾斜角，所以tanθ_n=

f(n)

n

=(

1

2

)n+

1

n(n+1)

，
所以tanθ₁=

1

2

+

1

2

=1，tanθ₂=

1

4

+

1

6

=

5

12

，tanθ₃=

1

8

+

1

12

=

5

24

，tanθ₄=

1

16

+

1

20

=

9

80

．
則有1+

5

12

+

5

24

=

13

8

＜

5

3

＜

139

80

=

13

8

+

9

80

，
故滿足要求的最大整數n是3．

點評：本題綜合考查向量的夾角與運算及正切函數的定義與求值．