Question

已知函數f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0）對任意的x₁∈[-1，2]都存在x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀）則實數a的取值范圍是

（0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：確定函數f（x）、g（x）在[-1，2]上的值域，根據對任意的x₁∈[-1，2]都存在x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀），可g（x）值域是f（x）值域的子集，從而得到實數a的取值范圍．

解答：解：∵函數f（x）=x²-2x的圖象是開口向上的拋物線，且關于直線x=1對稱
∴x₁∈[-1，2]時，f（x）的最小值為f（1）=-1，最大值為f（-1）=3，
可得f（x₁）值域為[-1，3]
又∵g（x）=ax+2（a＞0），x₂∈[-1，2]，
∴g（x）為單調增函數，g（x₂）值域為[g（-1），g（2）]
即g（x₂）∈[2-a，2a+2]
∵對任意的x₁∈[-1，2]都存在x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀）
∴

2-a≥-1 2a+2≤3 a＞0

，∴0＜a≤

1

2

故答案為：（0，

1

2

]．

點評：本題考查了函數的值域，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是對“任意”、“存在”的理解．