Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=4，且對任意的n≥3，n∈N^*有a_n-4a_n-1+4a_n-2=0．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）是否存在等差數列{b_n}，使得對任意的n∈N^*有a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ成立？證明你的結論．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a_n-4a_n-1+4a_n-2=0，
∴a_n-2a_n-1=2（a_n-1-2a_n-2）（其中n≥3）；
∴=2，（其中n≥3）；
∴數列{a_n-2a_n-1}是首項為（a₂-2a₁），公比為2的等比數列，
∵a₂-2a₁=2，∴a_n-2a_n-1=2•2^n-2=2^n-1（其中n≥2）；
∴-=1，∴數列{}是首項為1，公差為1的等差數列，故=n，即a_n=n•2^n-1；
（Ⅱ）令n=1，2，3，代入a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ得：
b₁=1①，b₁C₂¹+b₂C₂²=4②，b₁C₃¹+b₂C₃²+b₃C₃³=12③；
由①②③組成方程組，解得：b₁=1，b₂=2，b₃=3；
由此可猜想b_n=n，即n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ
下面用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，等式左邊=1，右邊=C₁¹=1，
∴當n=1時，等式成立，
（2）假設當n=k時，等式成立，即k•2^k-1=C_k¹+2C_k²+…+kC_k^k
當n=k+1時
（k+1）•2^k+1-1=k•2^k+2^k=2k•2^k-1+2^k=2（C_k¹+2C_k²+…+kC_k^k）+（C_k⁰+C_k¹+…+C_k^k）
=2C_k¹+4C_k²+…+2kC_k^k+C_k⁰+C_k¹+…+C_k^k
=（C_k⁰+C_k¹）+2（C_k¹+C_k²）+3（C_k²+C_k³）+…+（k+1）C_k^k
=C_k+1¹+2C_k+1²+3C_k+1³+…+（k+1）C_k+1^k+1
∴當n=k+1時，等式成立，
綜上所述，存在等差數列b_n=n，使得對任意的n∈N^*有a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ成立．
分析：（Ⅰ）由a_n-4a_n-1+4a_n-2=0，得a_n-2a_n-1=2（a_n-1-2a_n-2）（其中n≥3）；即=2，得數列{a_n-2a_n-1}是等比數列；首項a₂-2a₁=2，則通項a_n-2a_n-1=2•2^n-2=2^n-1（其中n≥2）；從而得數列a_n的通項公式；
（Ⅱ）當n=1，2，3時，由a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ得：b₁=1①，b₁C₂¹+b₂C₂²=4②，b₁C₃¹+b₂C₃²+b₃C₃³=12③；由①②③組成方程組，得b₁，b₂，b₃；由此猜想b_n的通項公式，即n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ；用數學歸納法證明即可．
點評：本題綜合考查了數列與遞推公式的應用，組合數公式與數學歸納法的應用；解題時應細心分析，認真解答，以免出錯．