Question

已知f(x)=e^x-ax-1,

(1)求f(x)的單調區間;

(2)若f(x)在定義域R內單調遞增,求a的取值范圍;

(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0］上單調遞減,在［0,+∞)上單調遞增?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.

Answer 1

解:(1)f′(x)=e^x-a,由f′(x)≥0得e^x≥a.當a≤0時,f′(x)≥0,當a＞0時有x≥lna.

綜上知:當a≤0時,f(x)的增區間是(-∞,+∞).當a＞0時,f(x)的增區間是［lna,+∞),減區間是(-∞,lna］.

(2)由e^x-a≥0在R上恒成立得a≤e^x,而x∈R時,e^x∈(0,+∞),∴a≤0.

(3)若f(x)在(-∞,0］上單調遞減,則e^x-a≤0在(-∞,0］上恒成立,即a≥e^x,∴a≥1.

若f(x)在［0,+∞)上單調遞增,則e^x-a≥0在［0,+∞)上恒成立,即a≤e^x,∴a≤1.

綜上知,a=1時滿足條件.