Question

已知函數f（x）=

ax+b

x2-1

（a≠0），為奇函數．
（1）求系數b的值，
（2）討論證明f（x）在（-1，1）上的單調性．

Answer 1

分析：（1）函數的定義域為{x|x≠±1}，利用f（0）=0，求b．
（2）利用導數研究函數的單調性．

解答：解：（1）因為函數的定義域為{x|x≠±1}，
且函數為奇函數，所以必有f（0）=0，
即-b=0，所以b=0．
（2）f（x）=

ax

x2-1

．函數的導數為f′(x)=

a(x2-1)-2ax2

(x2-1)2

=-

a(1+x2)

(x2-1)2

，
所以當a＞0時，函數的導數f'（x）＜0，函數單調遞減．
當a＜0時，函數的導數f'（x）＞0，函數單調遞增．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及利用導數判斷函數的單調性，考查學生的運算能力．