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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一個焦點坐標為(
3
,0),短軸一頂點與兩焦點連線夾角為120°.
(1)求橢圓的方程;
(2)設直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B,已知點A的坐標為(-a,0),點Q(0,m)在線段AB的垂直平分線上且
.
QA
.
QB
≤4,求m的取值范圍.
分析:(1)由題意知a=2b,c=
3
,a2=b2+c2,由此能得到橢圓方程.
(2)由A(-2,0),設B(x1,y1),直線l的方程為y=k(x+2),知A、B兩點的坐標滿足方程組
y=k(x+2)
x2
4
+y2=1
,由方程消去y并整理得:(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,由-2x1=
16k2-4
1+4k2
得x1=
2-8k2
1+4k2
,從而y1=
4k
1+4k2
,設線段AB的中點為M,則M的坐標為(-
8k2
1+4k2
2k
1+4k2
.然后再分類討論進行求解.
解答:解:(1)由題意知a=2b,c=
3
,a2=b2+c2
解得a=2,b=1,∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1.(4分)
(2)由(1)可知A(-2,0),設B點坐標為(x1,y1),
直線l的方程為y=k(x+2)
于是A、B兩點的坐標滿足方程組
y=k(x+2)
x2
4
+y2=1

由方程消去y并整理得:(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0
由-2x1=
16k2-4
1+4k2
得x1=
2-8k2
1+4k2
,從而y1=
4k
1+4k2

設線段AB的中點為M,則M的坐標為(-
8k2
1+4k2
2k
1+4k2
)(7分)
以下分兩種情況:
①當k=0時,點B的坐標為(2,0),線段AB的垂直平分線為y軸,
于是
.
QA
=(-2,-m),
.
QB
=(2,-m),
.
QA
.
QB
≤4
得:-2
2
≤m≤2
2
.(9分)
②當k≠0時,線段AB的垂直平分線方程為
y-
2k
1+4k2
=-
1
k
(x+
8k2
1+4k2

令x=0,得m=-
6k
1+4k2

.
QA
.
QB
=-2x1-m(y1-m)

=
-2(2-8k2)
1+4k2
+
6k
1+4k2
4k
1+4k2
+
6k
1+4k2

=
4(16k4+15k2-1)
(1+4k2)2
≤4
解得-
14
7
≤k≤
14
7
且k≠0(10分)
∴m=-
6k
1+4k2
=-
6
1
k
+4k

∴當-
14
7
≤k<0時,
1
k
+4k≤-4
當0<k≤
14
7
時,
1
k
+4k≥4
∴-
3
2
≤m≤
3
2
,且m≠0(12分)
綜上所述,-
3
2
≤m≤
3
2
,且m≠0.(13分)
點評:本題考查橢圓方程的求法和求m的取值范圍.解題時要認真審題,注意挖掘題設中的隱條件,解題時要注意分類討論思想的應用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點分別為F1,F2,左頂點為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓的標準方程,
(Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點,求
PF1
PA
的取值范圍
(III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M,N(均不是長軸的頂點),AH⊥MN垂足為H且
AH
2
=
MH
HN
,求證:直線l恒過定點.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點F(-c,0)是長軸的一個四等分點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點,記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
(1)當點D到兩焦點的距離之和為4,直線l⊥x軸時,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
3
2
,且經過點M(2,1),直線y=
1
2
x+m(m<0)
與橢圓相交于A,B兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)當m=-1時,求△MAB的面積;
(3)求△MAB的內心的橫坐標.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•威海二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
6
3
,過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點,且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為
2
6
3
+2

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設點M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點,若N為AB的中點,D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點P.求證:
ND
MP
AB
2
為定值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點,若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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同步練習冊答案
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