Question

已知f是直角坐標平面xOy到自身的一個映射，點P在映射f下的象為點Q，記作Q=f（P）．
設P₁（x₁，y₁），P₂=f（P₁），P₃=f（P₂），…，P_n=f（P_n-1），…．如果存在一個圓，使所有的點P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）都在這個圓內或圓上，那么稱這個圓為點P_n（x_n，y_n）的一個收斂圓．特別地，當P₁=f（P₁）時，則稱點P₁為映射f下的不動點．
（Ⅰ） 若點P（x，y）在映射f下的象為點Q（2x，1-y）．
①求映射f下不動點的坐標；
②若P₁的坐標為（1，2），判斷點P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）是否存在一個半徑為3的收斂圓，并說明理由．
（Ⅱ） 若點P（x，y）在映射f下的象為點Q(

x+y

2

+1，

x-y

2

)，P₁（2，3）．求證：點P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一個半徑為

5

的收斂圓．

Answer 1

（Ⅰ）①設不動點的坐標為P₀（x₀，y₀），
 由題意，得

x0=2x0 y0=1-y0

，解得x0=0， y0=

1

2

，
所以映射f下不動點為P0(0， 

1

2

)
②結論：點P_n（x_n，y_n）不存在一個半徑為3的收斂圓．
  證明：由P₁（1，2），得P₂（2，-1），P₃（4，2），P₄（8，-1），
   所以|P₁P₄|=

58

＞6，
   則點P₁，P₄不可能在同 一個半徑為3的圓內，
   所以點P_n（x_n，y_n）（n∈N^*） 不存在一個半徑為3的收斂圓
 （Ⅱ）證明：由P₁（2，3），得P2(

7

2

，-

1

2

)．
由P_n+1=f（P_n），得

xn+1= xn+yn 2 +1 yn+1= xn-yn 2

所以x_n+1+y_n+1=x_n+1，x_n+1-y_n+1=y_n+1，
   由P_n+2=f（P_n+1），得

xn+2= xn+1+yn+1 2 +1 yn+2= xn+1-yn+1 2

，
  所以x_n+2=

1

2

xn+

3

2

， yn+2=

1

2

yn+

1

2

  即x_n+2-3=

1

2

(xn-3)， yn+2-1=

1

2

(yn-1)，
  由x₁-3≠0，x₂-3≠0，得x_n-3≠0，
同理y_n-1≠0，
  所以

xn+2-3

xn-3

=

1

2

， 

yn+2-1

yn-1

=

1

2

，
  所以數列{x_2n-1-3}，{x_2n-3}（n∈N^*）都是公比為

1

2

的等比數列，首項分別為   x1-3=-1， x2-3=

1

2

，
  所以x2n-1-3=-(

1

2

)n-1， x2n-3=

1

2

×(

1

2

)n-1，
 同理可得y2n-1-1=2×(

1

2

)n-1， y2n-1=-

3

2

×(

1

2

)n-1
 所以對任意n∈N^*，|x_n-3|≤1，|y_n-1|≤2，
 設A（3，1），則|AP_n|=

(xn-3)2+(yn-1)2

≤

1+4

，
  所以|AP_n|≤

5

，
 故所有的點P_n（n∈N^*）都在以A（3，1）為圓心，

5

為半徑的圓內或圓上，
  即點P_n（x_n，y_n）存在一個半徑為

5

的收斂圓