Question

已知a，b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求a和b的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x）=f（x）+2，求g（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)1和-1是函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，則f'（1）=0，f'（-1）=0，建立方程組，解之即可求出a與b的值；
（2）先求出g'（x）的解析式，求出g'（x）=0的根，判定函數(shù)的單調(diào)性，從而函數(shù)的g（x）的極值點(diǎn)．
解答：解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx，得f'（x）=3x²+2ax+b．
∵1和-1是函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（-1）=3-2a+b=0，解得a=0，b=-3．
（2）∵由（1）得，f（x）=x³-3x，
∴g'（x）=f（x）+2=x³-3x+2=（x-1）²（x+2），解得x₁=x₂=1，x₃=-2．
∵當(dāng)x＜-2時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)-2＜x＜1時(shí)，g'（x）＞0，
∴x=-2是g（x）的極值點(diǎn)．
∵當(dāng)-2＜x＜1或x＞1時(shí)，g'（x）＞0，∴x=1不是g（x）的極值點(diǎn)．
∴g（x）的極值點(diǎn)是-2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，同時(shí)考查了計(jì)算能力和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．