Question

若函數y=f（x），x∈D同時滿足下列條件：
（1）在D內的單調函數；
（2）存在實數m，n，當定義域為[m，n]時，值域為[m，n]．則稱此函數為D內可等射函數，設f(x)=

ax+a-3

lna

（a＞0且a≠1），則當f （x）為可等射函數時，a的取值范圍是

（0，1）∪（1，2）

．

Answer 1

分析：求導函數，判斷函數為單調增函數，根據可等射函數的定義，可得m，n是方程

ax+a-3

lna

= x的兩個根，構建函數g（x）=

ax+a-3

lna

- x，則函數g（x）=

ax+a-3

lna

- x有兩個零點，分類討論，即可確定a的取值范圍．

解答：解：求導函數，可得f′（x）=a^x＞0，故函數為單調增函數
∵存在實數m，n，當定義域為[m，n]時，值域為[m，n]．
∴f（m）=m，f（n）=n
∴m，n是方程

ax+a-3

lna

= x的兩個根
構建函數g（x）=

ax+a-3

lna

- x，則函數g（x）=

ax+a-3

lna

- x有兩個零點，g′（x）=a^x-1
①0＜a＜1時，函數的單調增區間為（-∞，0），單調減區間為（0，+∞）
∵g（0）＞0，∴函數有兩個零點，故滿足題意；
②a＞1時，函數的單調減區間為（-∞，0），單調增區間為（0，+∞）
要使函數有兩個零點，則g（0）＜0，∴

1+a-3

lna

＜ 0，∴a＜2
∴1＜a＜2
綜上可知，a的取值范圍是（0，1）∪（1，2）
故答案為：（0，1）∪（1，2）．

點評：本題考查新定義，考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，正確理解新定義是關鍵．