Question

（2009•黃岡模擬）設函數f（x）=

1

3

ax³+

1

3

bx²+cx（c＜0），其圖象在點A（1，0）處切線斜率為0，則f（x）的單調遞增區間是

（

1

3

，1）

．

Answer 1

分析：根據導數的運算法則，得f'（x）=ax²+

2

3

bx+c．由題意得f（1）=0且f'（1）=0，由此建立關于a、b、c的方程組，解出a=3c、b=-6c，從而得到f'（x）=3cx²-4cx+c，再解關于x的不等式f'（x）＞0即得

1

3

＜x＜1，可得f（x）的單調遞增．

解答：解：求導數，得f'（x）=ax²+

2

3

bx+c
∵y=f（x）的圖象在點A（1，0）處切線斜率為0，
∴f（1）=0且f'（1）=0
可得

1 3 a+ 1 3 b+c=0 a+ 2 3 b+c=0

，解之得a=3c，b=-6c
∴f'（x）=3cx²-4cx+c=c（x-1）（3x-1）
∵c＜0，∴f'（x）=c（x-1）（3x-1）＞0即（x-1）（3x-1）＜0
解之得

1

3

＜x＜1，因此則f（x）的單調遞增區間是（

1

3

，1）
故答案為：（

1

3

，1）

點評：本題給出三次多項式函數，在已知函數在點A（1，0）處切線斜率為0的情況下，求f（x）的單調遞增區間．著重考查了導數的運算法則、導數的幾何意義和利用導數求函數的單調區間等知識，屬于中檔題．