Question

已知數列{a_n}滿足條件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）且a₁=1，a₂=6，設b_n=a_n+n，求{b_n}的通項公式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

分析：計算前幾項，猜想數列的通項，再利用數學歸納法進行證明；

解答：解：當n=1時，a₁=1，且a₂=6
當n=2時，a₃=3（a₂-1）=15，
當n=3時，2a₄=4（a₃-1），∴a₄=28，
猜測an=2n2-n，b_n=2n²．
下面用數學歸納法證明：
ⅰ當n=1時，等式b₁=a₁+1=2，b₁=2，成立，
ⅱ假設當n=k時，bk=2k2
則由（k-1）a_k+1=（k+1）（a_k-1），
有ak+1=

k+1

k-1

（k-1）（2k+1）=2k²+3k+1=2（k+1）²-（k+1），
bk+1=2(k+1)2-(k+1)+(k+1)=2（k+1）²
即n=k+1時，等式也成立
綜上，b_n=2n²．對一切大于0的自然數都成立．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查數學歸納法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．