Question

設(shè)銳角△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為 a，b，c，向量

m

=(1，sinA+

3

cosA)，

n

=(sinA，

3

2

)，已知

m

與

n

共線．   
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，c=4

3

sinB，且△ABC的面積小于

3

，求角B的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量平行，得到關(guān)于A的關(guān)系式，利用二倍角公式、兩角差的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)，求出角A的大小；
（Ⅱ）通過(guò)a=2，c=4

3

sinB，且△ABC的面積小于

3

，得到B的余弦值的范圍，然后求角B的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

m

∥

n

，則sinA(sinA+

3

cosA)=

3

2

，即sin2A+

3

sinAcosA=

3

2

、（2分）
所以

1-cos2A

2

+

3

2

sin2A=

3

2

，即

3

2

sin2A-

1

2

cos2A=1，即sin(2A-

π

6

)=1、（5分）
A是銳角，則2A-

π

6

=

π

2

，
所以A=

π

3

、（6分）
（Ⅱ）因?yàn)閍=2，c=4

3

sinB，
則S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×2×4

3

sin2B=4

3

sin2B=4

3

×

1-cos2B

2

=2

3

-2

3

cos2B、（9分）
由已知，2

3

-2

3

cos2B＜

3

，即cos2B＞

1

2

、（11分）
因?yàn)锽是銳角，
所以0＜2B＜

π

3

，即0＜B＜

π

6

，故角B的取值范圍是(0，

π

6

)、（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查向量的平行關(guān)系的應(yīng)用，三角函數(shù)的二倍角公式、兩角差正弦函數(shù)的應(yīng)用，考查解三角形的面積等知識(shí)，考查計(jì)算能力．