Question

已知函數f（x）=x³-3x²-9x+1
（1）求函數在區間[-4，4]上的單調性．
（2）求函數在區間[-4，4]上的極大值和極小值與最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用導數的正負，結合函數的定義域，即可得到函數的單調性；
（2）利用（1）的單調性，可得函數的極大值和極小值，再與端點函數值比較，即可求函數的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-3x²-9x+1，∴f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
令f′（x）＞0，結合-4≤x≤4，得-4≤x＜-1或3＜x≤4．
令f′（x）＜0，結合-4≤x≤4，得-1＜x＜3．
∴函數f（x）在[-4，-1）和（3，4]上為增函數，在（-1，3）上為減函數．
（2）由（1）得函數f（x）在x=-1時取得極大值，即f（-1）=6，在x=3時取得極小值，f（3）=-26
而f（-4）=-75，f（4）=-19
所以最大值為6，最小值為-75

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的極值與最值，屬于中檔題．