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(2013•寧德模擬)已知P是函數(shù)y=f(x)(x∈[m,n])圖象上的任意一點(diǎn),M、N為該圖象的兩個(gè)端點(diǎn),點(diǎn)Q滿足
MQ
MN
PQ
•i=0(其中0<λ<1,
i
為x軸上的單位向量),若|
PQ
|≤T(T為常數(shù))在區(qū)間[m,n]上恒成立,則稱y=f(x)在區(qū)間[m,n]上具有“T級(jí)線性逼近”.現(xiàn)有函數(shù):①y=2x+1;②y=
1
x
;③y=x2.則在區(qū)間[1,2]上具有“
1
4
級(jí) 線性逼近”的函數(shù)的個(gè)數(shù)為(  )
分析:
MQ
MN
,可得Q點(diǎn)在線段MN上,由
PQ
i
=0,可得P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,故|
PQ
|即為P,Q兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值,分析三個(gè)函數(shù)中,x∈[1,2]時(shí),|
PQ
|≤
1
4
是否恒成立,可得答案.
解答:解:由
MQ
MN
,可得Q點(diǎn)在線段MN上,由
PQ
i
=0,可得P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,故|
PQ
|即為P,Q兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值,
當(dāng)f(x)=y=2x+1,x∈[1,2],則M(1,3),N(2,5),函數(shù)y=f(x)的圖象即為線段MN,故|
PQ
|=0≤
1
4
恒成立,滿足條件;
當(dāng)f(x)=
1
x
時(shí),則M(1,1),N(2,
1
2
),線段MN的方程為y=-
1
2
x+
3
2
,此時(shí)|
PQ
|=-
1
2
x+
3
2
-
1
x
,則|
PQ
|′=-
1
2
+
1
x2
,令|
PQ
|′=0,則x=
2
,故當(dāng)x=
2
時(shí),|
PQ
|取最大值
3
2
-
2
,故|
PQ
|≤
1
4
恒成立,滿足條件;
當(dāng)f(x)=x2.則M(1,1),N(2,4),線段MN的方程為y=3x-2,此時(shí)|
PQ
|=-x2+3x-2,當(dāng)x=
3
2
時(shí),|
PQ
|取最大值
1
4
,故|
PQ
|≤
1
4
恒成立,滿足條件;
故在區(qū)間[1,2]上具有“
1
4
級(jí)線性逼近”的函數(shù)的個(gè)數(shù)為3個(gè)
故選D
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的值域,正確理解“T級(jí)線性逼近”定義,是解答的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寧德模擬)集合U={1,2,3,4,5},集合A={2,4},則?UA=(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寧德模擬)已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an(n∈N+),數(shù)列{bn}是公差為3的等差數(shù)列,且b2=a3
(I)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;
(II)求數(shù)列{an-bn}的前n項(xiàng)和sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寧德模擬)已知M={-1,0,1},N={x丨x2+x=0},則M∩N=(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寧德模擬)已知向量
a
=(-2,1),
b
=(x+1,-2),若
a
b
,則|
a
+
b
|=(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寧德模擬)某社區(qū)以“周末你最喜愛的一個(gè)活動(dòng)”為題,對(duì)該社區(qū)2000個(gè)居民進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查(每位被調(diào)查居民必須而且只能從運(yùn)動(dòng)、上網(wǎng)、看書、聚會(huì)、其它等五項(xiàng)中選擇一個(gè)項(xiàng)目)若抽取的樣本容量為50,相應(yīng)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示.據(jù)此可估計(jì)該社區(qū)中最喜歡運(yùn)動(dòng)的居民人數(shù)為(  )

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