Question

已知函數f(x)=2ax³-9ax²+b(a,b∈R)．

(Ⅰ)當a=1時，設g(x)=f(x)+cx(c∈R)，且函數y=g(x)的圖像有與x軸平行的切線，求c的取值范圍；

(Ⅱ)當a＞0時，若f(x)在區間[-1，2]上的最大值為27，最小值辦-13，討論函數h(x)=|f(x)-13|(x∈[0，2])的單調性．

Answer 1

(Ⅰ)解：(1)當a=l時，f(x)=2x³-9x²+b，

∴g(x)=2x³-9x²+cx+b(b、c∈R)

又g′(x)=6x²-18x+c，且y=g(x)的圖像有與x軸平行的切線，

∴g′(x)=0有解，即方程6x²-18x+c=0有解

∴△=18²-4×6×c≥0，即:c≤

(Ⅱ)據題知f′(x)=6ax²-18ax=6ax(x-3)，令f′(x)=0，

在[-1，2]解為x=0,f(0)=b

當a＞0時，有

x	[-1,0]	0	(0,2]
f′(x)	+	0	-
f(x)		極大

則f(0)必為最大值，f(0)=b=27，而

f_min(x)=min{f(-1)，f(2)}，

又f(-1)=-2a-9a+27=-11a+27，

f(2)=16a-36a+27=-20a+27，

∴f(2)＜f(-1)，f(2)為最小值，即

f(2)=-20a+27=-13，解得a=2，

從而f(x)=4x³-18x²+27

又f(x)-13=4x³-18x²+14=4x³-4x²+14

=4x²(x-1)-14(x+1)(x-1)

=2(x-1)(2x²-7x-7)

即：h（x）= 

易知函數h(x)在區間[0，1]上是單調減函數，在區間(1，2]上是單調增函數．