Question

【題目】已知指數函數y=g（x）的圖象經過點（2，4），且定義域為R的函數f（x）= 是奇函數．
（1）求f（x）的解析式，判斷f（x）在定義域R上的單調性，并給予證明；
（2）若關于x的方程f（x）=m在[﹣1，0）上有解，求f（ ）的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：指數函數y=g（x）的圖象經過點（2，4），則g（x）=2x，

f（x）= 是奇函數，f（0）=0，可得b=1，

由f（﹣1）=﹣f（1），可得a=1，∴f（x）= ，

∵f（x）= =﹣1+ ，∴f′（x）= ＜0，

∴f（x）在定義域R上單調遞減；

（2）解：方程f（x）=m在[﹣1，0）上有解，即 ﹣1=0在[﹣1，0）上有解

因為f（x）在R上的減函數，所以當x∈[﹣1，0），0=f（0）＜m≤f（﹣1）= ，得 ≥3，

所以f（ ）≤f（3）=﹣

又由 ＞0，得 ﹣1＞﹣1，得﹣1＜f（ ）≤﹣ ，

所以f（ ）的取值范圍是（﹣1，﹣ ]．

【解析】（1）求出指數函數的解析式，利用定義域為R的函數f（x）= 是奇函數，求f（x）的解析式，利用導數的方法判斷并證明f（x）在定義域R上的單調性；（2）若關于x的方程f（x）=m在[﹣1，0）上有解，求出m的范圍，即可求f（ ）的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的奇偶性的相關知識，掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．