Question

若函數f（x）=x³+

1

x

，則

lim

△x→0

f(△x-1)+f(1)

2△x

=

 

．

Answer 1

分析：根據導數的定義

lim

△x→0

f(x0+△x)-f(x0)

△x

=f′(x0)，和函數f（x）=x³+

1

x

，可知函數是奇函數，且可以求出其導數，根據極限的運算性質，對

lim

△x→0

f(△x-1)+f(1)

2△x

進行變形可求得結果．

解答：解：易知f（x）為奇函數，
∴

lim

△x→0

f(△x-1)+f(1)

2△x

=

1

2

lim

△x→0

f(△x-1)-f(-1)

△x

=

1

2

f′（-1）．
而f′（x）=3x²-

1

x2

∴

1

2

f′（-1）=1．
故答案為1．

點評：此題是個容易題．考查導數的定義和極限及其運算，注意導數的定義式，考查學生分析問題、解題問題的能力．