Question

【題目】如圖，在四棱錐PABCD－中，AB//CD，AB＝1，CD＝3，AP＝2，DP＝2，PAD＝60°，AB⊥平面PAD，點M在棱PC上．

(Ⅰ)求證：平面PAB⊥平面PCD；

(Ⅱ)若直線PA// 平面MBD，求此時直線BP與平面MBD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（I）通過線面垂直的性質得到，通過計算證明，由此證得平面，從而證得平面平面.（II）以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用平面求得點的坐標，從而求得平面的法向量，再根據線面角的向量公式，求得線面角的正弦值.

解：（Ⅰ）因為AB⊥平面PAD，所以AB⊥DP，

又因為，AP=2，∠PAD=60°，

由，可得，

所以∠PDA=30°，所以∠APD=90°，即DP⊥AP，

因為，所以DP⊥平面PAB，

因為，所以平面PAB⊥平面PCD

（Ⅱ）由AB⊥平面PAD

以點A為坐標原點，AD所在的直線為y軸，AB所在的直線為z軸，如圖所示建立空間直角坐標系.

其中，，，，.

從而，，，

設，從而得，

，

設平面MBD的法向量為，

若直線PA//平面MBD，滿足，

即，

得，取，

且，

直線BP與平面MBD所成角的正弦值等于：

.