Question

某地決定新建A，B，C三類工程，A，B，C三類工程所含項目的個數分別占總項目數的

1

2

，

1

3

，

1

6

（總項目數足夠多），現有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設．
（Ⅰ）求他們選擇的項目所屬工程類別相同的概率；
（Ⅱ）記ξ為3人中選擇的項目屬于B類工程或C類工程的人數，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知他們選擇的項目所屬工程類別相同表示三名工人選擇相同的工程，都選A，都選B或是都選C，這三個事件之間是互斥的，根據相互獨立事件和互斥事件的概率公式得到結果．
（2）由題意知每次試驗中事件發生的概率是相同的，各次試驗中的事件是相互獨立的，每次試驗只要兩種結果，要么發生要么不發生，得到變量符合二項分布，根據二項分布的概率和期望公式，得到結果．

解答：解：（Ⅰ）∵3名工人選擇的項目均為A類工程的概率P1=(

1

2

)3，
均為B類工程的概率P2=(

1

3

)3，
均為C類工程的概率P3=(

1

6

)3，
∴他們選擇的項目所屬工程類別相同的概率P=P1+P2+P3=

1

6

．

（Ⅱ）設三名工人中選擇項目屬于A類工程的人數為η，
∵每次試驗中事件發生的概率是相同的，
各次試驗中的事件是相互獨立的，
每次試驗只要兩種結果，要么發生要么不發生，
∴η～B(3，

1

2

)，ξ=3-η．
P(ξ=0)=P(η=3)=(

1

2

)3=

1

8

，
P(ξ=1)=P(η=2)=

C

2 3

(

1

2

)3=

3

8

，
P(ξ=2)=P(η=1)=

C

1 3

(

1

2

)3=

3

8

，
P(ξ=3)=P(η=0)=(

1

2

)3=

1

8

．
故ξ的分布列是：

ξ的數學期望Eξ=0×

1

8

+1×

3

8

+2×

3

8

+3×

1

8

=

3

2

．

點評：本題主要考查概率、統計等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力，考查分類與整合思想、化歸與轉化思想．這是高考常出的一種類型的題目．