Question

如圖PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，E、F分別是點A在PB、PC上的射影，給出下列結論：
①AF⊥PB　　②AE⊥平面PBC　　③AF⊥BC　　④EF⊥PB  ⑤二面角A-PB-C的平面角是∠AFE，
其中真命題的序號是

①②④⑤

．

Answer 1

分析：利用射影的定義、直徑所對的圓周角為直角等知識判定線線垂直，AF⊥PB，AE⊥PB，BC⊥AC．然后利用線線垂直?線面垂直?面面垂直的相互轉化關系判定即可

解答：解：∵F是點A在PB上的射影，∴AF⊥PB，①√；
∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥BC，∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴AE⊥BC，又∵AE⊥PC
∴AE⊥平面PBC，故②√；
∵假設AF⊥BC，則AF⊥平面PBC，又∵AE⊥平面PBC，∴E、F重合，與已知矛盾．∴③×；
∵AE⊥平面PBC，∴AE⊥PB，又PB⊥AF，∴PB⊥平面AEF，∴EF⊥PB，故④√；
∵PB⊥平面AEF，∴∠AFE是二面角A-PB-C的平面角，故⑤√；
故答案是①②④⑤

點評：本題考查空間中垂直關系的判定，要準確把握線線垂直?線面垂直?面面垂直相互轉化的條件．